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阿贝尔奖首位女性获奖者乌伦贝克,如何在肥皂泡里看到了一个数学宇宙?

文化

阿贝尔奖首位女性获奖者乌伦贝克,如何在肥皂泡里看到了一个数学宇宙?

Siobhan Roberts2019-04-10 12:11:11

“你只需把它们放大,就像在放大镜下观察一样,然后你就能看到这其中发生了什么。”

本文只能在《好奇心日报》发布,即使我们允许了也不许转载*

新泽西州普林斯顿电 — 3 月 19 日晚,数学家凯伦·乌伦贝克(Karen Uhlenbeck)与前来普林斯顿高等研究院(Institute for Advanced Study)的客人共同出席香槟宴会。几个小时前,她刚刚获得了阿贝尔奖(Abel Prize)。凭借她所发现的“起泡”(bubbling)现象等其他令人振奋的成果,乌伦贝克成为了首位获此殊荣的女性。

作为得克萨斯大学奥斯汀分校的荣誉教授,乌伦贝克博士职业生涯的大部分时间都是在这里度过(她谢绝了哈佛大学的教授职位)。2014 年,退休之后的乌伦贝克博士搬到了普林斯顿。她在普林斯顿高等研究院有一张书桌,里面堆满了一箱箱的书。她形容自己是一个麻烦的读者、一个复杂的思考者;她偏爱舒适、色彩艳丽、带口袋的服装,喜欢在穿 Birkenstocks 凉鞋时搭配袜子,看似不修边幅却又处处流露出时髦感。

众人纷纷致辞祝贺乌伦贝克博士取得的成就,觥筹交错间赞美其毕生事业的溢美之词不绝于耳,站在演讲台边上的乌伦贝克博士差不多闭上了眼睛在聆听。终于等到她发表讲话(事先并无准备)之际,她首先简单地表示认同:“从我快 80 岁高龄的角度来看,我也觉得自己作为一位年轻的数学家有些让人印象深刻。”

她接着指出,由于她在数学界找不到合适人选,大厨朱莉娅·查尔德(Julia Child)就成了她的榜样。她表示:“她知道如何把火鸡从地上捡起来再端上桌。”

莱斯大学(Rice University)的数学家乔·纳尔逊(Jo Nelson)是乌伦贝克博士的朋友,她访问普林斯顿高等研究院之际刚好碰上了为她的这位导师举办的庆祝会,这让她感到十分激动。纳尔逊表示:“听到人们如此细致地庆祝和讨论一位女数学家取得的成就,这真是太让人惊喜了。”

甚至连普林斯顿高等研究院的拓扑学家、数学教授罗伯特·麦克弗森(Robert Macphherson)也罕见地现身庆祝酒会。他举着一杯盛满气泡小宇宙的玫瑰干型香槟,说道:“从很多方面来看,它都非常奇妙。”

十年前,麦克弗森博士和一位合作者制定了一个公式,描述活跃的泡沫中单个肥皂泡如何在三维以及更高的维度中演变发展,例如他手中的香槟杯里弯月面上转瞬即逝的泡沫,或是一品脱啤酒顶部更加持久的泡沫。

公式

据休斯敦大学机械工程师安德里亚·普罗斯佩瑞提(Andrea Prosperetti)估计,各领域的研究人员撰写了“成千上万篇”关于泡泡的论文。原因在于肥皂泡和存在主义一样,都是看起来很简单。

他写道:“肥皂泡空空如也、具有非流动性,是一个遮蔽着数学奇点的微型云朵。它诞生于偶然,随着与几近无限的结合而结束其动荡而短暂的一生。”

四处打量你就会发现,大大小小的肥皂泡无处不在:高科技给药系统、乳化沙拉酱、肥皂泡、黑洞等等。从建筑学领域来看,采用威尔-费兰(Weaire-Phelan)泡沫结构的北京国家游泳中心(“水立方”)就是一盒肥皂泡:1994 年,爱尔兰物理学家丹尼斯·威尔(Denis Weaire)和他的学生罗伯特·费兰(Robert Phelan)发现了(最初是通过计算机模拟,后于 2012 年在实验室创建了该泡沫结构)同等体积多面体肥皂泡最有效的空间划分结构。

相比之下,乌伦贝克博士的贡献就没有那么实用了。阿贝尔奖表彰“她在几何偏微分方程、规范理论、可积系统方面取得了开创性成果;她在分析、几何和数学物理领域的研究带来了深远影响。”而“起泡”这个异想天开的名字掩盖了她的研究工作背后棘手的技术性问题。

乌伦贝克博士表示:“这更抽象、更偏理论化、更具隐喻性。”

凯伦·乌伦贝克博士在新泽西州的普林斯顿高等研究院。图片版权:Bryan Anselm for The New York Times

1873 年,比利时物理学家尤瑟夫·普拉托(Joseph Plateau)出版了《液体仅受分子力影响的实验和理论数据》(Experimental and Theoretical Statistics of Liquids Subject to Molecular Forces Only)一书,这也是关于肥皂泡和肥皂泡薄膜(肥皂泡薄膜即肥皂泡的泡壁,肥皂泡则是泡沫中的一个细胞)最具权威性的文献。

普拉托通过数十年的实验研究捕捉到了肥皂泡的特性,也就是如今我们所知道的“普拉托定律”。苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(James Clerk Maxwell)在《自然》杂志上评论这本书时感叹道:“肥皂泡还有诗意可言吗?”

如何让表面积变得最小?面对数学领域的这个难题,物理学界给出了肥皂泡这样一个解决方案:在这种情况下,表面积就是周围环绕着既定空气体积的肥皂泡。大自然总是在寻求最优化,以最小的能源成本获得最大的收益。因此,“最小曲面”问题随处可见,甚至在更高的维度上也是如此,各类研究人员都在努力描述这些支配性规则。

乌伦贝克博士坐在家中的餐桌旁说道:“这是一个永恒的主题。”颁奖那天下午,她一直躲在家里,为参加庆祝晚会养精蓄锐。作为几何分析领域的创始人,乌伦贝克博士以“几何变分法”(variational methods in geometry)的名义秘密研究着最小曲面问题。

她表示:“我问你一个问题。取一根固定长度的绳子放在平面上(比如桌上),绳子怎么绕一圈得到的面积最大?我把绳子摆弄一番,稍微做一点变动,看看面积是变大了还是变小了。”最佳答案不是一个正方形而是一个圆。她说,你也可以试试把绳子绕成一个正方形,“但你把角落的弯拿掉抚平,你能圈出的面积就会更大。这是一个变分的过程。”

1976 年,西里尔·伊森伯格(Cyril Isenberg)在一篇经典论文中把肥皂泡薄膜称作是“一台模拟计算机”。他将多面体(如四面体或正方体)的线框浸入肥皂水,计算那些特定的三维最小化的求解问题(这肯定要比数学家速度更快)。(最小化问题在如今的深度学习中只会更加重要。乌伦贝克博士表示:“这些技巧方法涉及到最大限度地减少各处数不胜数的小问题。”)

1940 年代,纽约大学柯朗数学科学研究所(Courant Institute of Mathematical Sciences)创始所长理查·科朗特(Richard Courant)将这一方法推广开来。最近,柯朗研究所应用数学实验室的研究人员进行了一项研究,得出这样一个结论:“吹泡泡的方法不止一种。”

他们还在水洞(输水隧洞)里用(Bertolli 牌)橄榄油吹大型泡泡,研究人员将这种肥皂泡称为“数学之河”。由此得出了一个用来描述吹泡泡和箍断泡泡所需临界流速的“主方程式”。

但他们也发现了另一种吹泡泡的方法:在一个略微鼓起的皂薄膜上施加一个低于临界速度的平缓流速。

这项研究的发起人之一利夫·里斯特罗夫(Leif Ristroph)表示:“我们认为,第二个结果非常令人惊讶。这或许可以解释我们小时候经常吹泡泡的原因。快速吹气会使肥皂泡薄膜向外弯曲,在那之后即使气流变慢,肥皂泡薄膜仍然会鼓起来。”

去年 12 月又传来了另一个实验室吹泡泡实验的消息。这一次,实验人员使用了普通的洗洁精溶液,实验内容则是受到了年组织细胞研究发现的新几何形状 Scutoid(盾状棱柱)启发。威尔博士表示:“我们研究这个问题的原因在于,我们一直都对部分生物细胞系统与肥皂沫之间紧密的相似性很感兴趣。”

有人将 scutoid 比作是扭曲的棱柱,对于活细胞而言这可能是一种奇怪的形状,但有时候这也会成为组织生长、弯曲和发育时的最佳形状。威尔博士好奇的是,scutoid 形状的优化是基因作用的结果,抑或仅仅只是当前受到了几何和物理的共同作用?这是不是“简单归结为最简单的肥皂泡理论,也就是正如普拉托定律表述的那样,不过是表面张力的基本定律?是这样的话,细胞是否就是肥皂泡呢?”

肥皂泡给出了肯定的回答。这项实验成功制作出了“干式泡沫夹心结构中的 scutoid 结构”(采用计算机模拟来进行匹配,泡沫中只有表面张力)。

理论物理学家也在思考比例范围较大一端的泡泡。剑桥大学的阿德里亚娜·佩希(Adriana Pesci)和其他应用数学家也在研究莫比乌斯(Möbius)环状的边框上形成的肥皂泡薄膜。佩希博士表示:“这项研究的有趣之处在于,这一切都源自于太阳耀斑。”

长期以来,天体物理学家一直有这样一个象征性的假设:星系团有一个类似于肥皂泡的结构。在黑洞研究领域,最小曲面同样是一个重要议题,黑洞的动力学受“肥皂泡定律”所驱动。

瞬子等奥秘中存在的“起泡”现象

2018 至 2019 这一学年,来自世界各地的研究人员齐聚普林斯顿高等研究院,开展一项年度专题的深入研究:专门研究最小曲面及相关分支的“几何变分法之特别年份”(Special Year in Variational Methods in Geometry)。研究院的一名数学家赫尔穆特·霍弗(Helmut Hofer)表示:“这是近来在这里举办的全球最大的肥皂泡大联欢。”

这些讲座和研讨会经常会引用乌伦贝克博士的学术贡献。颁奖当日,躲在家中的乌伦贝克博士错过了加州大学圣芭芭拉分校周鑫教授的演讲。后者演讲之初在黑板最上方引用了乌伦贝克博士 40 年前提出的一个定理。

周博士近期刚刚完成最小曲面一个未解决遗留问题的论证工作,他提到乌伦贝克博士的研究工作给了他灵感:“如果没有乌伦贝克博士提出的这个定理,人们就不会有勇气去尝试。”

普林斯顿高等研究院数学家费尔南多·科达·马克斯(Fernando CodáMarques)获邀负责与他的研究工作相关的特别年份的筹划工作:自 2013 年他与来自芝加哥大学的安德烈·内维斯(André Neves)合作取得的成果以来,他的研究工作取得了令人瞩目的成就。

从那时起,马克斯博士、内维斯博士等人就一直在不同维度的封闭空间中寻找最小曲面。

在此之前,早已被遗忘的最好的结果可以追溯到 1981 年。这项结果表明,任何一个三维或更高维度的空间至少存在一个最小曲面。马克思博士表示:“我们很好奇是否会有更多的最小曲面。”

从这些肥皂泡来看,确实存在更多的最小曲面。依据马克斯博士的博士研究生安东尼·宋(Antoine Song)提出的一项新证据,完整的一系列研究成果表明,实际上存在无穷多的最小曲面,这些最小曲面的排布密集而均匀。

要理解这一点绝非易事,就连乌伦贝克博士也不例外。

她表示:“最小曲面比比皆是的这个统计定理给我留下了深刻的印象。这些定理叹为观止,也有点令人难以置信。”

想要理解,或至少思考乌伦贝克博士研究工作的细微差异,方法之一就是去思考尺度难题。她大约从十年前开始画画,内容多以外景为主。这给她带来了一个意外的发现:“我发现了一个很有意思的事实:数学和绘画中都存在尺度问题。”

在绘画的过程中,你会尝试去刻画广袤的森林这些大尺度和类似花草的小尺度。她表示:“数学领域也存在非常类似的现象。二者最难的部分都是将这两个尺度级别结合在一起。你需要合适的工具。”

她指出,物理学领域的量子理论和广义相对论分别掌管着微观和宏观尺度。物理学家目前还不知道如何将二者合二为一。

乌伦贝克博士的“起泡”发现着力于解决一个类似的难题:她在小尺度当中观察到了错综复杂的现象,之后她发明了用来研究更大、更容易获得的尺度内的工具。“你只需把它们放大,就像在放大镜下观察一样,然后你就能看到这其中发生了什么。”

其他理论物理学家也可以凭借她的这一方法,解决一些类似火鸡掉到地板上的复杂的情况。

爱德华·威滕(Edward Witten)是普林斯顿高等研究院自然科学学院的物理学家,在阿贝尔奖颁奖典礼上致辞之前,躺在办公室沙发上的他表示:“我也和肥皂泡有过几番切磋。”

他试图去诠释“瞬子的起泡现象”的诸多重要应用及其对于数学和量子场理论的影响。(和香槟宴不同的是,瞬子是时空中的一个大事件。)

威滕博士解释称,对于数学家而言,瞬子的起泡现象是理解四维空间的一个技术障碍。他表示:“对于物理学家来说,这不仅仅是一个技术障碍。它还包含了很多奥秘。这是需要我们去理解的关键奥秘。”

继“起泡”发现之后,乌伦贝克博士又花了几十年的时间去研究其他数学奥秘。但去年她又重拾最小曲面领域的研究工作。她的合作者潘妮·史密斯(Penny Smith)会从理海大学(Lehigh University)赶来与她探讨数学。疯狂的阿贝尔奖旋风之后,筋疲力尽的乌伦贝克博士取消了两周的会面。但下一次会面时,她们将会深入研究一些更高维度的起泡现象。

乌伦贝克博士表示:“那会更加复杂。”


翻译:熊猫译社 唐尘

题图来自 Joshua Reddekopp on Unsplash;长题图来自 Daniel Hansen on Unsplash

© 2019 THE NEW YORK TIMES

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