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用数学的语言看世界,比如怎么安排无限的游客入住旅馆?

曾梦龙2017-05-22 18:30:24

“通常情况下,大家会认为语言领域的文学或外国语言文学属于文科,数学属于理科,但我认为数学是和语言学习一样的东西。数学可以精准地描述事物,这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。所以如果理解数学,就能看到那些无形、不可见的东西,想出从未想到过的新创意。”

作者简介:

大栗博司(Hirosi Ooguri):美国加州理工学院理论物理讲席教授,理论物理研究所所长,日本东京大学 Kavli 数学物理学联合宇宙研究机构(Kavli IPMU)研究主任。东京大学理学博士,发现了量子场论与超弦理论的深层数学构造,其研究曾获得美国数学学会大奖(2008年)、德国洪堡研究奖(2009年)、日本仁科纪念奖(2009年)、日本数学学会詹姆斯•西蒙斯奖(2012年),《超弦理论:探究时间、空间及宇宙的本原》获得 2014 年日本第 30 届日本讲谈社科学出版奖。

书籍摘录:

辛普森审判

1994 年年在美国洛杉矶发生了欧·杰·辛普森谋杀案,知名橄榄球运动员辛普森的前妻妮科尔·布朗及其友人罗纳德·古德曼被发现死于高曼的寓所外,辛普森被怀疑是杀害两人的凶手。辛普森退役后以演员和喜剧演员的身份参加各类活动,并且深受人们喜爱。因此,这个案件在当时备受关注。来自美国各地的律师们组成了辛普森的辩护团,被人们称为“梦之队”。另一方面,检察院也召集了最精明能干的检察官。甚至电视上还直播了这场“世纪审判”的审判情况。

检察院提交了辛普森常年对布朗施暴的证据,试图用家庭暴力证明其有杀人嫌疑。然而,辩护团中的一名律师、哈佛大学法学院的艾伦·德肖维茨教授引用了美国联邦调查局的一个犯罪统计,即虐待妻子的2500 名丈夫中只有 1 人杀害了自己的妻子,并且主张应该忽略家庭暴力这个证据。结果检察院无力反驳,最终无法让陪审员信服辛普森的施暴行为造成了杀人行为。但是,德肖维茨教授的主张纯属诡辩,完全可以用数学语言驳倒。

刑事审判追究的是有罪的“概率”。除非亲眼看见犯罪,否则就不能百分之百地断定有罪。检察院的工作就是要证明无罪的概率极小,法律术语叫作“排除合理怀疑,判定有罪”。至于多小的概率才能排除合理怀疑,这是一道数学无法判断的主观问题。法官和陪审员的职责正是对此作出判断。但是概率能用数字表达怀疑的程度,并通过这个数字来判断是否存在合理怀疑。这就是数学的力量。用概率来讲,德肖维茨教授的主张是有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率是 1/2500 ,因为这个概率极小,所以作为证据并无意义。法官和陪审员在作判断时,必须将所有相关信息考虑在内。实际上,德肖维茨教授忽略了一个重要的信息,即“妮科尔·布朗已经被杀害了”。如果把这个条件加进去的话,概率计算会出现完全不同的结果。

纪录片《辛普森:美国制造》剧照,来自:豆瓣

辩护团的德肖维茨教授主张有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率为 1/2500 ,因为这个数字太小,所以作为证据提交并没有意义。换言之,

P(家庭暴力→丈夫杀害妻子)= 1/2500

但是,辛普森审判中最重要的问题是“有家庭暴力,而且妻子遇害时,丈夫杀害妻子的概率”。

据说在美国,已婚女性被丈夫以外的人杀害的概率为 20000 人中有 1 个人。假设受到家庭暴力的妻子为 100000 人,其中有5 人遇害的原因与家庭暴力无关。另一方面,受到家庭暴力的妻子被丈夫杀害的概率为 1/2500 ,即 100000 人有 40 人被丈夫杀害。遇害的妻子总共为 40 + 5 = 45 人,其中被丈夫杀害的妻子为 40 人,所以受到家庭暴力的妻子被杀害时,丈夫是犯人的概率为

P(家庭暴力且他杀→丈夫杀害妻子)= 40/45 ≈ 0.9 

也就是说,只要能够证明辛普森有家庭暴力,他杀害布朗的概率为 90%。提出这个概率的话,想必就不能“排除合理怀疑”了。所以,显然这是一个重要的证据。 90% 的概率也足以用来反驳德肖维茨教授的主张。这就是数学的力量。

事件发生时凶手所使用的黑色皮手套最终决定了审判结果。在辛普森家中发现的手套中沾有两人血液以及布朗的金色发丝,同时还检验出了辛普森的 DNA 。检察院提交了作为证物的手套,但是他们致命的失败在于要求辛普森戴上手套。因为沾有血迹的皮手套收缩了一些,所以辛普森的大手难以戴上。而且,后来媒体曝光出发现这个皮手套的警官是一名种族歧视者,辩护团主张这位警官有可能捏造证据诬陷黑人辛普森。由于警方草率管理证据遭到曝光,持有合理怀疑的陪审员们讨论后一致决定辛普森无罪。虽然数学起了一定的作用,但是仅靠数学也不一定能赢得审判。

纪录片《辛普森:美国制造》剧照,来自:豆瓣

无限世界

1976 年,美国的摇滚乐队“老鹰乐队”发行了一张专辑《加州旅馆》(Hotel California)。这张专辑的主打歌是将南加州一家虚构的旅馆作为故事的发生地。主人公在沙漠公路上驾驶,感觉疲劳的他走进了一家旅馆。旅馆门口的女服务员带他穿过走廊时,里面传来了说话声。

欢迎来到加州旅馆!加州旅馆拥有无穷间客房。您随时都可以入住。

经理(以下称为“经”):欢迎来到加州旅馆!我是经理戴维·希尔伯特。本旅馆随时都有空房,因为我们拥有无穷间客房。您看走廊的前方,每间客房都标有房号, 1 、 2 、 3 · · · 永远不会停止。您看起来很疲惫!我马上让客房部主管为您准备房间。

客房部主管(以下称为“主”):经理,请您不要再轻易许诺说有多余房间了。今天客房已满,无法为客人办理入住。

经:你不用担心,把室内广播的话筒递给我。(拿起话筒)“不好意思打扰各位休息了。请 1 号房的客人搬到 2 号房, 2 号房的客人搬到 3 号房”。

主:1 号房就变成空房了。

经:那么,就请这位客人入住1 号房。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主:驶来了一辆旅游大巴,车身贴着“自然数旅行团”的标签。

来自:维基百科

经:你数一下来了多少客人。

主: 1 、 2 、 3  · · ·,怎么也数不完。貌似所有自然数都来了,总共有无穷位客人。而且客房已满,如果只来 1 位或 2 位还可以想想办法。现在来了无穷位客人,客房肯定不够了。

经:你不用担心。又到了室内广播的时间,“不好意思打扰各位休息了。现在麻烦各位搬到偶数房间。请 1 号房的客人搬到 2 号房, 2 号房的客人搬到 4 号房。 3 号房的客人搬到 6 号房。”

主:1 号房、3 号房、5 号房· · · 等奇数房间全部空出来了。

经:请大巴上的客人按顺序入住。第一位客人入住 1 号房、第 2 为客人入住 3 号房、第 n 位客人入住(2n − 1) 号房。这样一来,就能帮乘坐大巴的所有自然数客人安排房间。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主:经理,又来了好几辆自然数旅游大巴。

经:你先数好大巴数。

主: 1 、 2 、 3  · · · 怎么也数不完。貌似来了无穷辆大巴。而且,每辆大巴内都坐着无穷位客人。客房肯定不够了。

经:你不用担心。按照到达旅馆的先后顺序给旅游大巴编号, 1 、 2 、 3  · · · 再播放与刚才相同的广播内容。

主:和刚才一样,奇数房间都空出来了。但是,也只够一辆旅游大巴的客人入住。

经:你不用担心。旅游大巴里的客人都有 2  个号码,一个是自己乘坐的大巴编号,一个是自己在大巴里的座号。例如,如果是 3 号大巴的第 5 名乘客,就记作(3, 5)。

主:不过经理, 1 号大巴的客人全部入住后,客房就全满了。

经:像你这样安排的话当然会住不下。首先,请客人们按我说的排队。

主:麻烦客人们排一下队伍。请 2 号大巴的客人后退一步, 3 号大巴的客人后退 2 步。

经:对了,等客人们排好队后,给他们发放新的号码牌。

主:请按从前到后,从左到右的顺序传递号码牌。

经:这样一来,每位客人都能拿到号码牌。然后我们只要按照新的号码牌安排房间即可。刚才已经请之前入住的客人都搬到偶数房间,所以现在奇数房间都空出来了。那么,请 [1] 号客人入住 1 号房,[2] 号客人入住 3 号房, [n] 号客人入住 (2n − 1) 号房。

数学家希尔伯特,来自:维基百科

主:即使来了无穷多辆大巴的客人,也能完美地安排他们入住。

经:加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。

主:又来了一辆大巴,是有理数旅游团。

经:你不用担心。加州旅馆随时都有房间。

主:这次来的客人是分数。

经:所有的分数都来了吗?

主:是的。仅 1 和 2 之间的分数就是无穷个,看起来比旅馆的房间还要多,能住得下吗?

经:你不用担心。刚才拿着大巴编号和座位编号2 个数字的客人都已经顺利入住了。

主:是的,给这些客人发放了新的号码牌,例如(1, 2) 换成[2],(2, 3) 换成[8],然后让他们按照新号码牌先后办理了入住。

经:只要把分数看成 2 的数对就好了。例如客人1/2 就是(1, 2),给他发放[2] 号,客人 2/3 就是(2, 3),换成[8]号。然后按照刚才的方法安排他们入住。

主:不过1/2 = 2/4,客人1/2 拿到的是[2] 号,而客人 2/4 拿到的却是[8] 号。说起来,1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 =· · ·,所以重复的客人太多了。

经:那就把重复的房间空出来。

主:这家旅馆太厉害了。分数的客人全部成功入住,而且还有空房。

经:时间不早了,我先去休息了。剩下的就交给你处理了。

主:(原来如此!不管来多少客人,只要给他们分配号码牌就可以了。如果我能处理好,经理一定会对我刮目相看。客人们快点来吧!)

导游(以下称为“导”):这么晚还来打搅你们,真是不好意思。我是实数旅行团的导游。

【注】这段对话是 1924 年希尔伯特在哥廷根大学讲课时,为说明有限集合和无限集合的区别而使用的例子,被叫作“希尔伯特旅馆”。

题图为电影《美丽心灵》剧照,来自:豆瓣

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