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文化

这位数学家想科普自己的专业,先给人讲的是怎么做甜品

Natalie Angier 2016-05-04 15:15:15

数学可能是一只派,也可能是一杯奶油蛋羹——说这话的是一位教授兼作者,她可以通过甜点食谱展示数字的魔力。

本文只能在《好奇心日报》发布,即使我们允许了也不许转载*

芝加哥电 - 我们刚刚听完了数学家 Eugenia Cheng 关于非结合律(nonassociativity)的精彩演说。在这种体系下,运算的顺序是不能更改的——比如减法。

现在,她又想讲授下一堂课:纽结理论(knot theory)。

我提议休息一段时间。“为什么?”她问道。

“我想我们不应该在晚餐之前吃两份甜点,不是吗?”我一边说,一边紧张地笑了笑。

“为什么不呢?”她一本正经地问道。她系上围裙带,走到烤箱旁边。

Eugenia Cheng 正在厨房里制作一种融入了数学灵感的甜点。图片版权:Whitten Sabbatini/《纽约时报》

这样做当然是可以的。我刚才在想什么呢?Cheng 博士不是已经说了吗?她相信数学规则就像鸡蛋一样,需要打开、搅拌、翻转和品尝。那天我们打了许多个鸡蛋。

“你说得一点不假,”我一边说,一边快步走到她的身边,等待另一道以数学为主题的甜品正式出炉。

Cheng 博士从烤箱中取出了一份火候极佳的甜品,她称之为巴赫派,以纪念那位深受全世界数学家喜爱的伟大作曲家。长方形的深色奶油巧克力上镶嵌着香蕉片,并且点缀着四个穗带状的、浇过糖汁的油酥条,这些油酥条组成了一个像发辫一样的埃舍尔式图案。四条“穗带”具有发散的轨迹,它们看似相交,实际上却是相互分离的。

这种搭配巧妙地利用了字母的拼接——“香蕉(BAnana)和巧克力(CHocolate)放在一起就变成了巴赫(BACH),”Cheng 博士说。甜点上的“发辫”既体现了巴赫序曲的结构,又呈现出了某种拓扑模式,纽结理论家一直在研究这种模式,“以弄清这些‘发辫’的环绕方式,探索是否可以通过扭动不同的线条将一种‘发辫’转变成另一种‘发辫’,” Cheng 博士说。

这道甜点将艺术和数学完美地结合在一起,简直美妙地叫人下不了口。而且,牙齿本就不是用来解开绳结的,对吧?

另一个规则被轻松打破了。

39 岁的 Cheng 博士善于扫除既有观念和规则,就像扫除砧板上的碎屑一样。她是个理论数学家,研究一门叫做范畴论的生僻领域。这门理论非常抽象,“即使是一些纯粹的数学家也觉得它过于抽象,”Cheng 博士说。

同时,Cheng 博士还是一位人气很高的数学科普人士,她相信,虽然大多数人被高中代数所伤害、对数字产生了厌恶情绪,但他们仍然可以感受到数学的快乐。她曾经上过《科尔伯特晚间秀》等节目,她的在线数学辅导也获得了超过一百万次的点击量。

她的第一本书《如何烘烤 π:对终极数学的味觉探索》(How to Bake π: An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics)精装本在美国卖出了大约 2.5 万本,而且被翻译成了六种语言,对于一本明显穿插了大量数字、图表和方程式(这种穿插也许是明智的)的图书来说,这是非常出色的成绩。此书的平装本将于本月上市。

研究范畴论这一生僻领域的理论数学家 Cheng 博士正在以数学科普人士的身份获得声誉。图片版权:Whitten Sabbatini/《纽约时报》

加州大学河滨分校的数学教授约翰·贝兹(John Baez)(没错,他就是著名歌手琼·贝兹[Joan Baez]的表亲)曾表示:“我花了很多时间在博客上解释数学,试图抛开技术细节,使人们更容易理解我所说的话。”不过,他的帖子仍然以物理学家和具有一定背景知识的人为主要受众。

“Eugenia 则把这项工作做到了极致。她试图向所有人解释数学,不管他们之前接受过多少数学教育。我认为她取得了非常好的效果,”约翰说。

新的使命

Cheng 博士对于大众数学启蒙事业非常热心。为此她最近辞去了英国谢菲尔德大学的终身教授职位,在芝加哥艺术学院找了一份工作,为艺术学生讲授数学课程,开办各种讲座,同时继续研究范畴论。

Cheng 博士采用了一种使数学变得更加“美味”的方法。她说:“数学实际上就是采集原料,将其放在一起,看看能够做出什么食品,然后品尝这些食品,看看是否可口。”

《如何烘烤 π》的每一章里都有甜品和其他食物的制作菜谱,她还在这些方法中融入了数学主题。例如,为了解释数学如何寻找一组相似问题的共同点,Cheng 博士提供了荷兰酱的菜谱,这个菜谱稍加改动就可以用来制作蛋黄酱。

Cheng 博士在书中写道:“其他书里可能会告诉你,荷兰酱是用另外一种方法制作的,但我不需要理会这些事情。这样我的生活就会变得更加简单。数学的目的则是为了使事物变得更加简单,因为数学可以通过忽略一些不重要的细节来寻找事物之间的相同点。”

她的意式烤面条菜谱说明了语境对于数学的重要性。Cheng 博士在基本原料中列出了“新鲜的宽面条”,然后指出,另一本烹饪书可能不会将面条视作基本原料,而是从头介绍面条的制作过程。

类似地,根据不同的语境,数字的基础特点和基础程度也会发生变化。例如,数字 5 在自然数中是一个基本元素,它是一个质数,只能被 1 和它自己整除。

但在包括分数在内的有理数的语境下,5 失去了质数的身份,获得了某种通用性,能够被分割成非常小的部分,就像节食者吃蛋糕时采取的做法一样。

数字 1 在乘法运算中是不起作用的,不会改变其他数字:6 乘以 1 仍然等于 6。不过,在加法运算中,1 拥有很大的力量。Cheng 博士说,如果你不停地对 1 进行累加,你可以得到所有自然数,直至无穷。

不同的语境还可以推翻小学课堂上关于数字的真理。2 加 2 等于 4,这似乎是无可置疑的。不过,如果你在只有 1、2、3 三个数字的钟面上谈论这个问题,情况就不一样了。如果你从 2 开始,顺时针转动两格,指针将停在 1 的位置上。因此在这种语境下,2 加 2 等于 1。

康奈尔大学应用数学系教授、畅销书作家史蒂芬·斯托加茨(Steven Strogatz)表示:“我承认我一开始对她的烹饪类推法抱有怀疑,但当它们销售一空的时候,我完全相信了。”

他还说:“她传达了数学的创造力和创新精神,这是所有数学家都知道、但在实际教导数学的时候却很少真正去交流的。我心里一直想到的一个词是:耳目一新。”

Cheng 博士有一头黑色长发,戴着眼镜,走起路来挺直而优雅,像一个舞者。她有时开朗热情,有时又变得冷静而客观。她还是一位古典音乐家,拥有一台 1910 年产的斯坦威大三角钢琴。

当然,她的厨艺也非常厉害。最近的一个下午,我们来到了她储备丰盛的厨房,此时她正把蛋黄、糖和奶油搅拌在一起——这个可以做成蛋奶冻,但在我的经验中是结合不到一起的。她说,这就涉及到了计算各种材料的结合方式。

如果要做蛋糕,你完全可以把面粉、糖、黄油和鸡蛋按照心意随便混到一起,就能做出不错的蛋糕——这就是结合性的方式,但它不适合用来做蛋奶冻。做蛋奶冻你必须先把糖和蛋黄混合,用打蛋器打出泡沫之后才能再倒进奶油。

如果材料不按这个顺序放的话,她说:“那你最后就会弄出一堆稀乎乎的失败品。”

数学的原料

在数学中也有同样的情形,要进行加法或乘法这样的结合性运算,你可以随意改变数字的组合运算方式,而最后得出的结果是一样的,比如 (4+5)+ 6 和 4+(5+6) 结果相同。

而减法、除法和乘方就是非结合律的运算,这时哪个数字与哪个相关联会直接影响到计算结果。因此,10-(6-4) 的结果是 8,而 (10-6)-4 的结果就是零了。

Cheng 博士还在继续搅拌蛋奶冻,一直注视着容器防止液体结块成形。她说:“有人问我,蛋奶冻在热的时候吃还是冷却后再吃。我跟他们说,我会一做完就全都吃掉。”

她调整着火炉的温度,不断地调高调低。她说,做出恰到好处的蛋奶冻有着很微妙的过程,这比做数学题要难,它更像是生活本身。

Cheng 博士强调,公众一直认为数学很难,只有那些有天赋的人才能掌握,这其实是不对的。正相反,数学存在的意义就是要让生活变得更容易,去解决那些可以用应用数学最有力的工具“逻辑学”解决的问题。

科学作为一门学科,需要形成假设、进行实验并收集那些可以支持或否定假设的证据,而数学则要简单得多,它就只是叙述出你要论证的每一项,然后用逻辑学来证明你的论述。

Cheng 博士说:“数学就是选取原料,然后把它们组合在一起,看看会得出什么结果,然后你可以品尝一下这个结果的味道如何。” 图片版权: Whitten Sabbatini/《纽约时报》

贝兹博士表示:“数学的伟大之处在于,你不需要准备太多就可以探索其中的奥妙。不用那些昂贵的实验设备,你只要一根铅笔和一张纸,就可以沉浸在数字和各种算式之中了。”

逻辑思考的关键是要习惯于抽象思维。显然,我们认为数字就是抽象概念的一种:比如数字 3,它可以表示 3 支香蕉、3 块馅饼或 3 组巴赫变奏曲。

进行抽象思维的下一步,就需要用 x 和 y 这样的符号来代替具体数字,这种方法可以让你的结论适用性更广,就像一个用来制作派的通用公式可以适用于香蕉、蓝莓、南瓜、坚果、巴赫结……所有你能想到的派的种类。

举个例子来说明一下抽象思维如何工作吧,“如何烘焙派”这个课题可以表现在一个智力题中:现在,我父亲的年龄是我的 3 倍,但 10 年之后,他就只有我年龄的两倍了。那么,我现在多大?要解决这个问题,就需要读者用到 x-y 的抽象概念。*

Cheng 博士发现,如果忽略细节的话,数学思维中需要用到的一些抽象概念会让人们感觉很不习惯,所以,这个绿色的圆形抱枕和那个紫色的方形抱枕会有助于你想象一个将被称为 x 的抱枕概念。

不过她也表示,这只是一种练习,帮你可以像面对实际物体一样熟练操作这些概念。她说:“你会变得十分擅长分辨哪些东西是相关的、哪些不相关,这对于日常生活很有用处。”有时她发现,在想象中给一个男人剃掉胡子,或是想象一只毛绒绒小狗到湖里游了一圈后出来的样子,都会给人带来“奇妙的满足感。”她表示:“这就是抽象化,你会发掘出一些没有表现出来的东西。”

数学厨师的根源

在苏塞克斯乡下长大的 Cheng 博士是家中的两个女儿之一,她经历的教养方式让她更容易爱上数学。她母亲是一位统计师,在香港上中学的时候曾被认为是最出色的数学学生,而在养育女儿的时候,这位母亲会用逻辑谜语方面的图书让她们在海滩上一玩就是好半天。

由于母亲每天都要通勤去伦敦的会计师事务所上班,而父亲在离家不远的地方拥有一个儿童心理诊所,所以她们从小就习惯了妈妈的公文包和爸爸做的晚餐。

Cheng 博士的姐姐 Alethea Cheng Fitzpatrick 现在是纽约的一名建筑师,她说:“我觉得 Eugenia 和我都受益于这种非典型的成长环境,所以到成年的时候,我们对于性别角色或者性别能力都没有形成任何偏见。”

后来,从剑桥大学研究所毕业之后,她又在欧洲和美国拿到了三个博士后奖学金,Cheng 博士常常发现自己成了少数派。她说:“我去参加学术会议的时候,发现女卫生间里总是没几个人。”

目前,美国大学的数学专业里只有不到 30% 的女性毕业生,享有终身职位的教职人员中,女性则只占 12%。Cheng 博士正努力去改变人们这种认知,她表示:“我想要成为一个榜样,无论对男人还是对女人。”

蛋奶冻做好了,理想变成了现实。我吃光了第一碗,然后,想要再来一些。

* 假设 x 是我,y 是我父亲,现在的关系是:y=3x10 年后,我父亲的年龄就是 y+10,是我年龄的两倍,即:y+10=2(x+10)。而既然 y=3x,我们可以在等式中替换掉 y,得到 3x+10=2(x+10)。然后,2(x+10) 就相当于 2x+20,现在我们就可以得出 3x+10=2x+20。最后,在等式的两边都减去 2x,得到 x+10=20。所以,x=10,我现在的年纪是 10 岁。

翻译 熊猫译社 刘清山 乔木

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